In this paper, the singularity loci of general three-degree-of-freedom planar parallel manipulators are studied and a graphical representation of these loci in the manipulator's workspace is obtained. The algorithm used here is based on the determination of the roots of the determinant of the manipulator's Jacobian matrix. As mentioned elsewhere, two different types of singularities can occur when parallel manipulators are actuated. Both types are considered here and it is shown that one of the two types leads to a trivial description while the second one is more challenging. On the other hand, architectural singularities are not considered since they are assumed to be eliminated from the outset by a proper choice of the kinematic parameters. Indeed, for the type of manipulator studied here, architectural singularities are very easy to predict and were studied in detail elsewhere. Analytical expressions describing the singularity locus of a planar parallel manipulator are obtained here. Moreover, it is shown that, for a given orientation of the platform, the singularity locus in the plane of motion is a quadratic form, i.e., either a hyperbola, a parabola or an ellipse. Examples illustrating these results are given. For each of these examples, the corresponding singularity locus is graphically superimposed on the manipulator's workspace. This feature has been included in a package developed for the CAD of parallel manipulators. Cases of manipulators for which the singularity locus is located outside of the workspace for certain orientations of the platform are presented. Additionally, three-dimensional representions of the singularity loci are given. The graphical representation of the singularity loci is a very powerful design tool which can be of great help, especially in the context of parallel manipulators.

Dans cet article, on presents l'étude et la representation des lieux de singularite dans l'éspace de travail cartésien du manipulateur parallels plan general à 3 degrés de liberté. La methods utilises ici est bases sur I'annulation du determinant de la matrice jacobienne du manipulateur. Dans des travaux antérieurs, trois grands types de singularites ont été identifies pour les manipulateurs paralléles. On s'intéresse, dans cette etude, aux singularites de type I et II, c'est-a-dire celles pour lesquelles le nombre de solutions au problems géométrique (i) inverse et (ii) direct dégénère. Le 3iéme type, appelé aussi singularite architecturelle, est suppose éliminé par un bon choix des paramétres géométriques du manipulateur. En efet, ce type de singularite est facile à prévoir pour le manipulateur etude ici et les conditions dans lesquelles ces singularites se produisent ont été explicitées ailleurs.

Le travail développé ici aboutit à une expression analytique quadratique pour les singularites de type II. A partir de cette expression, il est montré que le lieu des singular rités de ce type, pour une orientation donnee de la plate-forme, est soit une hyperbole, soit une parabole, soit un ellipse. Des exemples de manipulateurs paralleles plans à 3 degrés de liberté sont traités. Pour chacun des exemples montrés, les courbes de singularite sont superposées à l'éspace atteignable du manipulateur grace à un logiciel de CAO spécialement dédié aux manipulateurs paralleles et dans lequel les expressions développées ici ont été intégrées. Une representation tridimensionelle des courbes de singularite est aussi donnee. Des cas de manipulateurs ne présentant pas de singularite pour certaines orientations ont été mis en evidence par simulation graphique. Par ailleurs, les singularités de type I sont représentées par les limites de l'espace de travail trace dans l'espace cartésien et sont donc faciles a obtenir. La representation graphique des lieux de singularite constitue un outil puissant d'analyse et de conception puisqu'elle permet à I'utilisateur d'avoir trés rapidement une excellente idée de la localisation des configurations potentiellement critiques.