It is well known that one of the main factors that hinders the application of parallel mechanisms is that singular configurations may exist within their workspace, which is a serious problem. Therefore, it is of primary importance to avoid the singularities in the workspace. From a design point of view, it is desirable to obtain the analytic expression of the singularity locus of a parallel mechanism;​ then, with a given set of structural parameters, the singularity locus can be illustrated graphically.

According to the classification given in [14], there are three types of singularities for closed-loop mechanisms, based on the properties of the Jacobian matrices of the chain. The second type of singularity is the focus of our study, i.e., the determinant of the instantaneous direct kinematics matrix is equal to zero. In this thesis, first, an expansion algorithm is developed to obtain the analytical expression for the singularity locus in the 6-dimensional Cartesian space of the general Gough-Stewart platform, i.e., a polynomial in six variables (three position variables x, y, z, and three orientation variables, ψ, θ and φ), which consists of 2173 terms. Then, with the expression obtained here and a given set of structural parameters, the singularity locus for either constant orientation or constant position can be obtained immediately. Although the expression is rather complicated, it is possible to obtain graphical representations.

The singularity locus expression is applicable to all Gough-Stewart platform regardless of the geometric parameters. The expression developed here is of great interest for the design and analysis of Gough-Stewart platforms. It allows the designer to visualize interactively the singularity locus superimposed on the given workspace for either constant orientation or constant position or combinations of both.

The closed-loop nature of parallel mechanisms limits the motion of the platform and creates complex kinematic singularities inside the workspace. Because of the limited workspace coupled with singularities, the trajectory planning of parallel mechanisms is a difficult problem. Hence, it is highly desirable to develop an algorithm to locate the singularity-free zones in the workspace.

In this thesis, algorithms are developed for the identification of singularity-free zones in the workspace of 3−RP R planar parallel mechanisms and the general Gough-Stewart platform. Several procedures adapted to different situations are developed. With the procedures proposed in this thesis, the end-effector can be moved arbitrarily in a zone, which means that it can undergo any trajectory, and the trajectories do not have to be further checked for singularities.

The procedures developed in this thesis are all similar in nature. They are based on the use of Lagrange multipliers to transform the constrained problems into unconstrained problems. In principle, the procedure can be applied to any mechanism with a known singularity equation. The results obtained are not previously available and are easy to understand. For different parallel mechanisms, the procedures allow the determination of singularity-free zones of different shapes, such as cylinders and spheres.

Although the procedures developed in this thesis are formulated mathematically, they also have geometric interpretations. Therefore, graphical illutrations are presented to illustrate the effectiveness of the procedures as well as to verify the results. All the results presented in this thesis will be of great help for the design and trajectory planning of parallel mechanisms.

Il est bien connu qu’un des facteurs principaux qui gˆene l’application des mécanismes parallèles réside dans le fait que des configurations singulières peuvent exister à l’intérieur de leur zone de travail. Par conséquent, il est très important d’éviter les singularités dans la zone de travail. D’un point de vue de conception, il est souhaitable d’obtenir l’expression analytique du lieu de singularité d’un mécanisme parallèle, puis, avec un ensemble donné de paramètres structuraux, les lieux de singularité peuvent ˆetre déterminés.

Selon la classification donnée dans [14], il existe trois types de singularités pour les mécanismes constitués de chaˆınes cinématiques fermées. En se basant sur les propriétés des matrices jacobiennes de la chaˆıne, le deuxième type de singularité est le centre de notre étude, c.-à-d., le déterminant de la matrice jacobienne directe est égal à zéro. Dans cette thèse, un algorithme d’expansion est développé pour obtenir l’expression analytique pour le lieu de singularité dans l’espace en dimensions cartésiennes de la plate-forme générale de Gough-Stewart, c.-à-d., un polynˆome avec six variables (trois variables de position x, y, z et trois variables d’orientation, ψ, θ, φ), qui est constitué de 2173 termes. A partir de l’expression obtenue ici et un ensemble de paramètres ` structuraux, le lieu de singularité pour l’orientation constante o`u la position constante peut ˆetre obtenu immédiatement. Bien que l’expression soit plutˆot compliquée, il est possible d’obtenir certaines représentations graphiques en 3-D.

L’expression du lieu de singularité est applicable à chacune des plate-formes 6-6 de Gough-Stewart indépendamment des paramètres géométriques. L’expression développée ici est d’un grand intérˆet pour la conception et l’analyse des plate-formes de Goughiii Stewart. Elle permet au concepteur de visualiser interactivement le lieu des singularités superposé à la zone de travail donnée pour une orientation ou une position constante ou pour une combinaison des deux.

L’architecture en boucles fermées des mécanismes parallèles limite le mouvement de la plate-forme et crée des singularités cinématiques complexes à l’intérieur de la zone de travail. En raison de la zone de travail limitée couplée aux singularités, la planification de trajectoire des mécanismes parallèles est un problème difficile. Par conséquent, il est fortement souhaitable de développer un algorithme pour localiser l’espace libre des singularités dans la zone de travail.

Dans cette thèse, des algorithmes sont développés pour l’identification des zones libres de singularités dans l’espace de travail des mécanismes parallèles plans de type 3−RP R et de la plate-forme générale de Gough-Stewart. Plusieurs procédures adaptées à différentes situations sont développées. Les procédures développées dans cette thèse sont toutes semblables en nature. Elles sont basées sur l’utilisation des multiplicateurs de Lagrange afin de transformer les problèmes avec contraintes en problèmes sans contraintes. En principe, la procédure peut ˆetre appliquée à n’importe quel mécanisme dont l’équation de singularité est connue. Les résultats obtenus sont originaux et sont faciles à comprendre. Pour différents mécanismes parallèles, les procédures permettent la détermination des zones libres de singularités de différentes formes, comme des cylindres et des sphères.

Bien que les procédures développées dans cette thèse soient formulées mathématiquement elles ont également des interprétations géométriques. Par conséquent, des illutrations graphiques en 3-D sont présentées pour illustrer l’efficacité des procédures aussi bien que pour vérifier les résultats. Tous les résultats présentés dans cette thèse seront utiles pour la conception et la planification de trajectoire des mécanismes parallèles.