This dissertation is presented specifically to an audience composed of two separate groups working on the kinematics of parallel mechanisms:​ mechanical engineers and geometricians.

Originally, this work was based solely on engineering concepts. However, during the course of this work, a theoretical and practical algebraic geometry approach has been proposed, and now, this thesis is a (hopefully judicious) mixture of these two approaches. The work presented in this thesis does not favour one method over another but rather uses the synergies between the methods of engineering mechanics and algebraic geometry.

By keeping the kinematic analysis of symmetrical parallel mechanisms with fivedegree-of-freedom—three translations and two rotations—as a case study, this thesis can be regarded as a guideline of the application of algebraic geometry in the kinematic analysis of parallel mechanisms. This choice, i.e., the selection of symmetric 5-degreeof-freedom parallel mechanisms, has been appreciated since the kinematic properties of this type of architecture have proven to be quite remarkable.

In this context, Chapters 2 to 4 are devoted to the adaptation of some algebraic geometry techniques to the kinematic analysis of parallel mechanisms while keeping in the background the study of symmetrical 5-degree-of-freedom parallel mechanisms. The major contribution of Chapter 2 is the development of a systematic approach for the kinematic modelling of symmetric parallel mechanisms which is applied in Chapter 3 to symmetric 5-degree-of-freedom parallel mechanisms. In Chapter 3, the application of the framework presented in Chapter 2 leads to some astonishing results for the number of solutions for the FKP:​ 1680 finite solutions and for a given design 208 real solutions. All these solutions are in terms of Study parameters, i.e., in the sevendimensional kinematic space. In Chapter 4, the mapping from the seven-dimensional to three-dimensional kinematic space is introduced which allows to obtain the Cartesian coordinates and the corresponding angles for each solution. Moreover, in this chapter the first-order kinematic properties are also investigated which results in a better understanding of the mechanism.

The reader will notice in Chapters 5 and 6 a kinematic investigation which is based on the three-dimensional kinematic space. The main concern of Chapter 5 is the geometric constructive approach for the workspace analysis in which an algorithm previously proposed for the constant-orientation workspace of 6-degree-of-freedom parallel mechanisms is extended to the symmetric 5-degree-of-freedom parallel mechanisms. The CAD model of the workspace is also presented. The results of this chapter reveal that the workspace of symmetric 5-degree-of-freedom parallel mechanisms can have small isolated part. Chapter 6 completes the discussion initiated in Chapter 3 for the FKP in which the FKP is investigated for some simplified designs having either a closed-form solution or a univariate expression. For a nearly general design a univariate expression of degree 220 is found. In this chapter, we veer a little from the three-dimensional kinematic space to the seven-dimensional kinematic space in order to validate and refine the obtained results, a state of the art which can be applied to other cases.

The last chapter is devoted to the singularity analysis of symmetric 5-degree-offreedom parallel mechanisms which relies on Grassmann line geometry. This chapter covers extensively the study of the singular configurations of the symmetrical 5-degreeof-freedom parallel mechanisms for the simplified design proposed in Chapter 6. The main contribution of this chapter is the application of the Grassmann line geometry to the lower-mobility parallel mechanisms in which a line at infinity is among the Plucker lines under study.

Finally, Chapter 8 concludes the thesis by summarizing the results obtained throughout Chapters 2 to 7. It provides also several ongoing works and future works which can be the subjects of some further studies for a new direction of research.

Cette thèse de doctorat s'adresse tout particulièrement à deux groupes de personnes travaillant sur la cinématique des mécanismes parallèles :​ les ingénieurs mécaniciens et les géométriciens.

À l'origine, ce travail devait être basé uniquement sur des concepts et des outils d'ingénierie. Cependant, à mi-parcours, il a été pertinent d'utiliser un aspect pratique de l'algèbre géométrique et, désormais, cette thèse se veut un judicieux mélange de ces deux approches. En effet, contrairement à ce qu'on trouve généralement dans la littérature, le travail présenté ici ne favorise pas une méthode par rapport à l'autre, mais vise plutôt à utiliser les synergies possibles entre les méthodes de l'ingénierie mécanique et de l'algèbre géométrique.

En gardant comme étude de cas l'analyse cinématique de mécanismes parallèles symétriques à cinq degrés de liberté, trois translations et deux rotations, cette thèse peut être considérée comme une ligne directrice de l'application de l'algèbre géométrique dans l'analyse cinématique de mécanismes parallèles. Le choix de ce cas s'est avéré heureux puisque les propriétés cinématiques de ce type d'architecture se sont révélées tout à fait remarquables.

Dans cette optique, les chapitres 2 à 4 sont consacrés à l'adaptation des outils de l'algèbre géométrique à l'analyse cinématique des mécanismes parallèles. Ces chapitres gardent toujours en toile de fond l'étude des mécanismes parallèles symétriques à cinq degrés de liberté. La contribution majeure du chapitre 2 est le développement d'une approche systématique pour la modélisation cinématique des mécanismes parallèles symétriques qui est appliquée par la suite dans le chapitre 3 aux mécanismes parallèles symétriques à cinq degrés de liberté. Cette application donne des résultats étonnants en ce qui a trait au nombre de solutions du problème géométrique direct :​ 1680 solutions finies et 208 solutions réelles pour une architecture donnée. Toutes ces solutions sont en termes de paramètres de Study, un espace projectif à sept dimensions. Au chapitre 4, la transformation entre cet espace à sept dimensions et celui à trois dimensions est introduite afin d'obtenir les coordonnées cartésiennes et les angles correspondants pour chaque solution. En outre, les propriétés cinématiques de premier ordre sont également étudiées dans ce chapitre afin d'avoir une meilleure compréhension du mécanisme.

Le lecteur pourra ensuite suivre dans les chapitres 5 et 6 une étude cinématique basée sur l'espace à trois dimensions. La préoccupation principale du chapitre 5 est l'analyse constructive de l'espace atteignable par une approche géométrique. Un algorithme proposé dans la littérature pour trouver l'espace atteignable pour une orientation constante d'un mécanisme parallèle à six degrés de liberté est alors étendu aux mécanismes parallèles symétriques à cinq degrés de liberté. Le modèle CAO de l'espace atteignable est également présenté. Les résultats de ce chapitre montrent que l'espace atteignable des mécanismes parallèles symétriques à cinq degrés de liberté peut posséder une petite partie isolée. Le chapitre 6 complète quant à lui la réflexion engagée au chapitre 3 sur le problème géométrique direct. Ce problème est ainsi étudié pour des modèles simplifiés qui ont des solutions explicites ou une expression monovariable. Pour une conception quasi-générale, une expression monovariable de degré 220 est obtenue. Dans ce chapitre, nous dévions un peu de l'espace à trois dimensions pour celui à sept dimensions afin de valider et d'affiner les résultats obtenus, une approche qui peut être appliquée à d'autres cas.

Le chapitre 7 est pour sa part consacré à l'analyse des singularités des mécanismes parallèles symétriques à cinq degrés de liberté qui repose sur la géométrie grassmannienne. Ce chapitre couvre largement l'étude des configurations singulières des mécanismes parallèles symétriques à cinq degrés de liberté pour les architectures simplifiées proposées dans le chapitre 6. La contribution principale de ce chapitre est l'application de la géométrie grassmannienne aux mécanismes parallèles à mobilité réduite pour lesquels une ligne à l'infini est parmi les lignes de Plùcker.

Enfin, le chapitre 8 conclut cette thèse en résumant les résultats obtenus dans les chapitres précédents. Il décrit également plusieurs travaux en cours et propose des sujets de travaux futurs pour une nouvelle orientation de la recherche.