La scoliose idiopathique est une maladie qui génère des déformations morphologiques tridimensionnelles (3D) complexes de la colonne vertébrale qui généralement évoluent dans le temps. Des études antérieures sur l'évolution des déformations scoliotiques à partir du plan transverse aura permis de mettre en évidence un mécanisme commun de progression des courbures scoliotiques qui s'apparente au concept mathématique de torsion géométrique d'une courbe dans l'espace. Bien que quelques méthodes de mesure de la torsion géométrique ont été développées ou proposées, le phénomène de torsion dans la scoliose n'a jamais été analysé en détail et défini précisément. Cette thèse de doctorat s'intéresse donc au phénomène de torsion géométrique dans la scoliose idiopathique de l'adolescence et pose l'hypothèse que l'aspect morphologique tridimensionnel des déformations scoliotiques peut être représenté par une courbe dans l'espace dont les propriétés intrinsèques de courbure 3D et de torsion géométrique, tel que définie mathématiquement par les équations de Frenet, en permettent la caractérisation et la description. Pour vérifier cette hypothèse, trois nouvelles approches de modélisation curviligne 3D de la colonne scoliotique ont été étudiées. De ces approches, un modèle géométrique représentant le plus fidèlement possible la géométrie tridimensionnelle de la majorité des morphologies scoliotiques a été proposé pour l'évaluation et l'interprétation du paramètre de torsion géométrique. Par la suite, une étude clinique à été réalisée pour évaluer la pertinence du paramètre de torsion géométrique comme indice tridimensionnel des déformations dans la scoliose idiopathique.

Une technique de reconstruction radiographique tridimensionnelle développée à l'École Polytechnique de Montréal et implantée en milieu clinique (Hôpital Sainte-Justine de Montréal) a été utilisée pour reconstruire les sommets inférieurs et supérieurs des pédicules droit et gauche et à partir desquels la position des centroïdes vertébraux, correspondant approximativement au centre du trou vertébral, a été estimée. La première approche de modélisation de la colonne scoliotique est basée sur des segments d'hélices elliptiques ajustés aux centroïdes vertébraux reconstruits. Cette approche s'est avérée limitée à cause de problèmes d'adéquation, la forme hélicoïdale elliptique ne permettant pas de modéliser toutes les géométries scoliotiques et plus particulièrement les géométries lombaires. De plus, la modélisation segmentaire des géométries lombaire et thoracique a mené à des problèmes de discontinuité et la torsion n'a pas pu être évaluée en tout point de la colonne. Une analyse précise et complète de l'ensemble des déformations scoliotiques en terme du phénomène de torsion géométrique n'était, par conséquent, pas possible.

Pour pallier les limites de modélisation de cette première approche, la représentation mathématique de la colonne vertébrale par des fonctions paramétriques de séries de Fourier lissées par la méthode des moindres carrés a été explorée. Cependant, les méthodes de lissage paramétrique modélisent difficilement les zones de changement de sens de certaines courbes spinales (point d'inflexion 3D). Ceci résulte en la présence de valeurs extrêmes (pics) non-représentatives sur les tracés de torsion. Une méthode de correction a donc été développée et validée sur des données de colonnes scoliotiques simulées et réelles. La technique de correction qui consiste à définir un point d'inflexion 3D dans la zone du pic de torsion, généralement associé à la jonction des scolioses de type thoracique droite- lombaire gauche, s'est avérée avoir peu d'impact sur la précision du modèle géométrique de la colonne (0.27±0.17 mm) lorsque étudiée sur des colonnes scoliotiques simulées. Cette seconde approche de modélisation s'est avérée plus efficace que celle des hélices elliptiques pour représenter les géométries scoliotiques thoraciques et lombaires et permet d'évaluer la torsion en tout point le long de la colonne modélisée évitant ainsi de perdre des informations.

La troisième approche est basée sur une technique d'interpolation plus générale en ce sens qu'elle englobe les méthodes des Spline et des moindres carrés. Elle est plus raffinée que la méthode des séries de Fourier lissées par moindres carrés parce qu'elle y ajoute une fonction de correction, appelé covariance, pour encore mieux représenter la géométrie de la colonne. La méthode de validation croisée a été utilisée pour sélectionner les fonctions de krigeage (dérives et covariances) qui représentaient le mieux la géométrie simulée de colonnes scoliotiques typiques. La torsion des colonnes simulées a ensuite été estimée à partir de modèles utilisant les meilleures fonctions de krigeage et s'est avérée plus précise (1.46×10⁻⁵.18×10⁻⁴ mm⁻¹ à 1.2x10⁻⁵±7.11×10⁻⁵ mm⁻¹) que la torsion mesurée à partir de la méthode des séries de Fourier conventionnelle (5.25×10⁻³±3.71×10⁻⁵ mm⁻¹), lorsque comparée à la torsion analytique des courbes simulées. Ces résultats démontrent le potentiel de cette approche dans l'évaluation de la torsion ainsi que dans celle d'autres indices de déformations (angle de Cobb, angle du plan de déformation maximum, courbure 3D, etc.). Tout comme d'autres méthodes de lissage paramétrique utilisées dans l'évaluation de la torsion géométrique. le krigeage modélise difficilement les zones d'inflexion 3D caractéristiques de certaines colonnes scoliotiques double majeure. Bien que cela n'ai pas été étudié, les succès de la technique de correction utilisée dans la seconde approche sont un signe prometteur pour l'application d'une approche de correction semblable avec le krigeage.

L'application de l'approche des séries de Fourier "corrigée" sur des données réelles de sujets sains et scoliotiques a permis de confirmer le caractère bidirectionnel du phénomène de torsion chez les courbes doubles de type thoracique droite-lombaire gauche et de réaffirmer le caractère faiblement torsionnel (parfois même nul) des zones apicales et fortement torsionnel des extrémités des courbes scoliotiques. Ceci a aussi été constaté dans les résultats de l'approche des hélices elliptiques. L'approche des séries de Fourier aura aussi contribué à fournir des informations additionnelles sur le phénomène de torsion dans la scoliose idiopathique. Ainsi, le phénomène de torsion n'est pas uniquement unidirectionnel chez les courbures simples, mais aussi bidirectionnel. De plus, lorsqu'une courbe scoliotique est associée à un phénomène de torsion opposée, elle correspond à une scoliose combinée dans l'espace avec une courbe du profil sagittal (cyphose ou lordose). Quant aux courbures double thoracique droite-lombaire gauche dont la jonction (plan frontal) coïncide avec une torsion nulle, elles présentent un phénomène de torsion-contretorsion dont la transition correspond à la superposition dans l'espace de la jonction des courbes scoliotiques et des courbes du profil sagittal.

L'analyse des tracés de torsion aura permis de relever pour la première fois la similitude tridimensionnelle des patrons de courbure idiopathique droit et gauche, l'un étant l'image miroir de l'autre. Cette constatation aura permis de limiter la description des courbes scoliotiques, y compris celles des très rares scolioses lombaire droite et thoracique gauche, à trois principaux patrons de torsion permettant une description à la fois simple et détaillée de l'ensemble des déformations de la colonne scoliotique.

Le système de classification proposé dans cette thèse peut être utilisé pour comparer plus objectivement le résultat des traitements chirurgicaux de courbes tridimensionnellement similaires. Ceci devrait permettre d'assister le chirurgien-orthopédiste dans le choix de l'approche chirurgical, comme celui de la sélection plus adéquate des niveaux de fusion. Les notions mathématiques de courbure et de torsion pourraient aussi être utilisées pour développer un modèle biomécanique simplifié, de type curviligne, capable de simuler la réponse 3D de la colonne à différents systèmes de forces correctrices générées par différentes instrumentations. De plus, l'étude comparative des tracés de torsion obtenus à différents stades de l'évolution des déformations devrait aider à visualiser et à comprendre plus à fond les aspects évolutifs de la scoliose.

L'approche novatrice des séries de Fourier "corrigée", basée sur une technique de correction des pics de torsion, a permis de caractériser l'aspect morphologique tridimensionnel des déformations scoliotiques et de mieux comprendre le phénomène de torsion géométrique dans la scoliose idiopathique. La reconnaissance de patrons de torsion géométrique a également permis de proposer un système de classification novateur qui comprend une description tridimensionnelle et torsionnelle des déformations scoliotiques.

Idiopathic scoliosis is a pathology causing complex three-dimensional morphologic deformities of the spine that generally progress in time. Previous studies of the scoliotic deformity through transverse plan have shown that the mechanism of curves progression is similar to the mathematical concept of geometric torsion of a spatial curve. Although a number of methods have been developed or proposed for the evaluation of geometric torsion, the phenomenon of torsion in scoliosis has never been analysed in detail and precisely defined. The intention of this thesis is to study the geometrical torsion phenomenon in scoliosis with the hypothesis that three-dimensional (3-D) scoliotic deformities can be represented by a spatial curve characterized and described from curvature and geometric torsion properties, defined mathematically by Frenet's formulas. To test this hypothesis, three novel approaches of 3-D curvilinear modeling of the spine were investigated. From these, a geometric model that accurately represents the 3-D geometry of common scoliotic deformities was proposed for the evaluation and interpretation of geometric torsion. A clinical study was conducted to evaluate the reliability of geometric torsion as a 3-D index of idiopathic scoliosis deformities.

A radiographical 3-D reconstruction technique developed at Ecole Polytechnique of Montreal and establish in a clinical environment (Montreal Sainte-Justine Hospital) was used to reconstruct left and right pedicles bases and estimate the vertebral centroid location, approximately, the center of the vertebral foramen. The first approach of scoliotic spinal modeling fitted segments of elliptical helices to the 3-D reconstructed thoracic and lumbar vertebral centroids. This method was limited because the elliptical helix was inadequate to model all geometries of scoliotic spine, but more particularly the lumbar geometry. In addition, segment modeling of the lumbar and thoracic geometry led to discontinuity problem and geometric torsion could not be evaluated everywhere on the spinal curve. Precise and complete analysis of the various scoliotic deformities in terms of the geometric torsion phenomenon, therefore, were not possible.

An alternative method was to represent the spine with parametric functions of Fourier series fitted by least square techniques. With parametric smoothing method it is difficult to model 3-D inflexion points (direction change in the curve) found in some spinal curves. This results in non-representative extreme values (spikes) on torsion plots. A corrective method was developed and validated on simulated and clinical scoliotic spine data. The corrective technique is based on the definition of a true 3D inflexion point in the torsion spike area, generally found at the junction of right thoracic-left lumbar curves This technique was found to have little impact on the accuracy of the geometric model (0.27±0.17 mm) when studied on simulated scoliotic spines. This second approach was more effective than the elliptical helices approach for representing lumbar and thoracic scoliotic geometries and allowed evaluation of torsion at every point along the modeled spine avoiding any lost of information.

The third approach was based on the statistical interpolation method of kriging. This method is more general because it includes Spline and least square methods. It is more refined than the previous least square Fourier series methods, because it involves a corrective function, called covariance, to better fit the spinal shape. Cross-validation tests were used to select the kriging functions (drifts and covariances) that best represent the geometry of simulated typical scoliotic spines. The torsion of the simulated spines was estimated from models using the best kriging functions and was found to be more accurate (1.46×10⁻⁵.18×10⁻⁴ mm⁻¹ to 1.2x10⁻⁵±7.11×10⁻⁵ mm⁻¹) than the torsion obtained from simple least square Fourier series method (5.25×10⁻³±3.71×10⁻⁵ mm⁻¹), when compared with the analytical torsion. These results show the promise of this approach in torsion evaluation as well as in other deformity indices measurement (Cobb angle, plan of maximum deformity, 3D curvature, etc.). Similarly to other smoothing parametric method used for the evaluation of geometric torsion, kriging has difficulty modeling 3-D inflexion zone characteristic of some double major scoliotic spines. Although not investigated here, the correction technique used in the second approach is promising for the application of a similar technique with kriging.

The application of the "corrected" Fourier series approach to real data of healthy and scoliotic subjects verified the bi-directional torsion phenomenon behavior of right thoracic-left lumbar curves and confirmed that the geometric torsion have extreme values at the curve limits (end vertebrae), whereas the torsion is nearly zero at the apexes. This was also observed in the elliptical helices approach results. The Fourier series approach also brought additional information regarding the torsion phenomenon in idiopathic scoliosis. It showed that torsion phenomenon is not only unidirectional but can be bi- directional in single curves. In addition, scoliotic curves subjected to opposite direction torsion, corresponded to a scoliotic and sagittal curve (kyphosis or lordosis) combination. Scoliotic right thoracic-left lumbar curves associated with a zero value of torsion at the junction of the curves, showed "torsion-contertorsion" phenomenon with a torsion direction transition that correspond in 3-D to the superposition of the scoliotic and sagittal curves junction.

Torsion plots analysis revealed for the first time the 3-D similarity of the right and left curve patterns, one being the mirror image of the other. This outcome helped reduce the description of scoliotic curves, including unconsidered curves such as the rare left thoracic and right lumbar scoliosis, to three basic patterns of torsion allowing both a simple and detailed description of a variety of scoliotic spine deformities.

The proposed classification system can be used for the objective evaluation of surgical treatment of three-dimensionally similar curves. This can assist the orthopedic surgeon in surgical procedure selection, such as appropriate fusion level. The mathematical concept of curvature and torsion could also be used to develop simplified biomechanical models to simulate the 3-D response of the spine to various corrective forces systems. In addition, a comparative study of torsion plots obtained at different stages of the deformities evolution should help visualized and understand more deeply the progressive aspects of scoliosis.

The novel approach of Fourier series, including a corrective technique for torsion spikes, allowed characterization of the 3-D morphology of scoliotic deformities. This provided a better understanding of the geometric torsion phenomenon in idiopathic scoliosis. The observation of geometric torsion patterns led to a novel classification system that includes both three-dimensional and torsional descriptions of scoliotic deformities.