Fast, accurate and stable simulation algorithms targeting mechanical systems have long been a major concern for engineers, computer scientists and physicists. Many important applications of dynamics exist, ranging from exploring the behaviour of physical systems, to designing new mechanical systems and objects with applications to manufacture, design, computer graphics and fundamental research. Real-time numerical integration methods are needed in interactive simulation, such as found in simulation environments for training, haptic devices, and other interactive virtual environments, which simulate large, complex systems whose models cannot be handled symbolically. In this thesis we are interested in the problem of simulating large, fairly complex systems in real-time. Consequently, firstorder integration methods are studied, given that it is currently not possible to solve a large number of highly nonlinear problems quickly enough to perform numerically stable, high-order accuracy numerical integration in real time. Also, due to the time constraints at play, numerical stability must be prioritized over accuracy, as large integration time steps are required. The types of applications mentioned above tend to require the simulation of systems involving articulated rigid bodies and contact, as many of the mechanisms that are operated by humans are of this type. To that end, our first systems of interest are open chains of rigid bodies, as explored in Chapters 3 and 4.

The contribution of Chapter 3 is a generalization of the geometric stiffness method. The original method is only applicable to systems with a flat configuration space, thereby ruling out real-life dynamic behaviour, such as rigid body rotation. The geometric stiffness method is extended to cover the case of an arbitrary configuration space. Furthermore, a monitoring method is developed to dynamically alter the extent of the energy dissipation due to the geometric stiffness term, which allows for good enough control of dissipation so as to let the analyst reach a better compromise between energy conservation and stability than with the geometric stiffness term alone. The contribution of Chapter 4 on chains of rigid bodies is a method of selection of constraint stabilization parameters. The stabilization coefficients are related to the stiffness and damping coefficients that relax the system constraints, whereby the constraints are integrated over a smaller time step using an asynchronous integration method. This allows a physically-based choice of stabilization coefficients, and a guarantee of energy consistency, with, on average, an improvement in constraint satisfaction.

In Chapter 5, the real-time simulation of flexible bodies is investigated. Due to the constraints upon the integration method, i.e., speed and stability, we necessarily limit ourselves to first-order time-stepping integration methods. The first part of this section demonstrates a fast first-order method for the integration of models involving flexible bodies, which are described using the Absolute Nodal Coordinate Formulation (ANCF). The integration method can stably integrate ANCF elements over a large range of stiffness values. The key novel contribution is a set of stabilization terms, which only require the computation of the first derivatives of the strain. The method does not depend on any tunable parameters, the only variable introduced in the discretization and stabilization of the method being the time step itself. The integration method is then extended to arbitrary ANCF elements. This includes cable elements, shell elements and volumetric elements with arbitrary shape functions.

In Chapter 6, an integration algorithm for ANCF elements in nonsmooth systems is developed. Four different approximations of the Coulomb friction model are compared and contrasted against each other. The four different models are adaptations of a penalty method with regularized Coulomb friction, the box friction model, a more general discretized friction cone model, and the full nonlinear problem solved via the prox method. Adaptations are made to the models so that they can be applied to the finite-element case, e.g., via a set of weighted contact forces that are introduced to improve the estimation of the overall contact force. The introduction of these forces necessitates adaptations of the various relaxation parameters and bounds in each of the methods. The models are evaluated by means of a number of non-trivial examples, testing different aspects of the contact formulation. The final part of Chapter 6 demonstrates the construction of a single monolithic integration method for rigid and flexible bodies with contact, and, in particular, the construction of constraints between the angular velocity of a rigid body and ANCF elements. Together with the above contact work, a single monolithic time-stepper, which handles the flexible and rigid degrees of freedom simultaneously, is presented.

Les algorithmes de simulation rapides, précis et stables pour les systèmes mécaniques sont depuis longtemps l’intérêt des ingénieurs, informaticiens et physiciens. Plusieurs applications dynamiques importantes existent, de l’exploration du comportement des systèmes physiques, jusqu’à la conception de nouveaux systèmes mécaniques et objets ayant des applications en fabrication, conception, et recherche fondamentale. Des méthodes temps réel d’intégration numérique sont requises pour les simulations interactives, tels que les environnements d’entraînement, les dispositifs haptiques ainsi que d’autres environnements virtuels qui simulent des systèmes larges et complexes pour lesquels les modèles ne peuvent pas être définis symboliquement. Dans cette thèse, nous sommes intéressés au problème de la simulation en temps réel des systèmes larges et relativement complexes. Par consèquent, nous recherchons les méthodes d’intégration du premier ordre, tout en, considérant qu’il n’est pas possible, à l’heure actuelle, de résoudre un grand nombre de problèmes hautement non linéaires assez rapidement pour rèaliser des intégrations numériques en temps réel qui soient stables et précises. De plus, en raison des contraintes de temps, la stabilité numérique doit être priorisée par rapport à la précision, puisque de grands intervalles de temps sont nécessaires. Le type d’application mentionné ci-dessus, la simulation de systèmes impliquant des corps rigides articulés et des contacts, puisque plusieurs mécanismes opérés par les humains sont de ce type. À cet effet, nos premiers systèmes d’intérêt sont les chaînes de corps rigides, tel qu’exploré dans les Chapitres 3 et 4.

La contribution du Chapitre 3 est une généralisation de la méthode de rigidité géométrique. La méthode originale est seulement applicable aux systèmes ayant un espace de configuration plan, excluant ainsi des comportements dynamiques nécessaires tel que les rotations de corps rigide. La méthode de rigidité géométrique est étendue afin de couvrir le cas d’un espace de configuration arbitraire. De plus, une méthode de contrˆole est développée afin d’altérer dynamiquement la dissipation d’énergie causée par le terme de la rigidité géométrique, ce qui permet un bon contrˆole de la dissipation, permettant ainsi aux analystes d’obtenir un meilleur compromis entre conservation d’énergie et stabilité qu’avec le terme de rigidité géométrique seulement. La contribution du Chapitre 4 pour les chaînes de corps rigides est une méthode de sélection des paramètres de contrainte de stabilisation. Les coefficients de stabilisation sont reliés aux coefficients du rigidité et d’amortissement qui relâchent les contraintes du système, o`u les contraintes sont intégrées sur un plus petit intervalle de temps en utilisant une méthode d’intégration asynchrone. Ceci permet de choisir les coefficients de stabilisation en fonction de la physique, ainsi qu’une garantie de la consistance de l’énergie, ce qui, en moyenne, améliore la satisfaction des contraintes.

Au Chapitre 5, la simulation temps réel des corps flexibles est ètudièe. En raison des contraintes impliquées dans la méthode d’intégration, c’est-à-dire, la rapidité et la stabilité, nous nous limitons aux méthodes d’intégration par intervalle de temps de premier ordre. La première partie de cette section démontre une méthode d’intégration rapide de premier ordre pour les corps flexibles qui sont décrits en utilisant la Formulation par Coordonnèes Absolues des Nœuds (FCAN). Cette méthode peut intégrer stablement des éléments FCAN sur une grande plage de valeurs de rigidité. La contribution est un ensemble de termes de stabilisation qui requiert uniquement le calcul de la première dérivée de l’élongation. Cette méthode ne dépend d’aucun paramètre ajustable ;​ la seule variable introduite dans la discrétisation et stabilisation de la méthode est l’intervalle de temps. La méthode d’intégration est ensuite étendue aux éléments FCAN arbitraires. Ceci inclut des éléments câbles, des éléments coques ainsi que des éléments volumétriques avec des fonctions de forme arbitraires.

Dans le Chapitre 6, un algorithme d’intégration pour éléments FCAN pour systèmes non réguliers est développé. Quatre approximations différentes du modèle de friction de Coulomb sont comparées. Les quatre modèles sont des adaptations de la méthode par pénalisation avec :​ du frottement de Coulomb régularisée, un modèle de du frottement boîte, une discrétisation générale du frottement cˆone ainsi que le problème non linéaire complet résolu par la méthode prox. Des adaptations sont faites à ces modèles afin qu’ils soient applicables à la méthode par éléments finis, par exemple, au moyen d’un ensemble de forces de contact pondérées introduit pour améliorer l’estimation de la force de contact globale. L’introduction de ces forces de contact pondérées nécessite l’adaptation de quelques paramètres de relaxation et de limites dans chacune des méthodes. Les modèles sont évalués par l’entremise d’un nombre d’exemples non triviaux, vérifiant différents aspects de la formulation de contact. Dans la dernière partie du Chapitre 6 l’auteur dèmontre la construction d’une méthode d’intégration monolithique unique pour corps rigides et flexibles avec contact, plus particulièrement, la construction de contraintes entre les vitesses angulaires des corps rigides et les éléments FCAN. Combinée avec le travail sur les contacts mentionné ci-dessus, l’auteur prèsente une méthode unique monolithique par intégration en temps discret qui vise simultanément les degrés de liberté flexibles et rigides.