A novel class of three-limb, full-mobility parellel-kinematics machines (PKMs), dubbed the SDelta, is proposed as a promising alternative to the traditional six-limb StewartGough platforms. This simple architecture, with fewer moving components, leads to a lower inertia load, which extends its applications domain, the SDelta being deemed fit for generating high-frequency, small-amplitude (HFSA) motions, which are needed, e.g., in the inertia-parameter identification of rigid bodies.

Prior work conducted by the applicant on three-limb, full-mobility PKMs includes architecture design plus kinematics, singularity and dexterity analyses. This work was conducted upon modelling the PKM as a multi-rigid-body system. However, for HFSA applications, where high speeds are required, the inherent flexibility of the light limb rods should be taken into account. Thus, the PKM should be modeled as a multibody system with rigid and flexible links. In this vein, a concise lumped-parameter elastodynamics linear model is essential, since it includes the system stiffness and vibration characteristics in a swift, effective way.

Instead of a detailed n-degree-of-freedom(n-dof) generalized model considering flexibility and inertia of all system links, this thesis focuses on the six-dof simplified model in Cartesian space. This model is deemed suitable for flexible mechanical systems whose operation link is much stiffer and heavier than its counterparts coupling it to the rigid base. In this case, the system elastodynamics model can be simplified into a rigid moving platform (MP) mounted on a massless, linearly elastic suspension. Under this assumption, the system inertia is lumped into the rigid MP, while the system stiffness is lumped into a Cartesian spring. The whole system is thus simplified into a Cartesian mass-spring model. This model is not only a natural extension of its one-dof mass-spring counterpart, but also a pertinent simplification of the n-dof generalized model. Our model is deemed to be a convenient and useful tool in the preliminary-design stages, in which the detailed dimensions of the mechanical system are not yet determined. Moreover, the Cartesian space is more intuitive and visualizable than its n(gt;​ 6)-dof counterpart. With the help of screw theory, geared to Cartesian models, engineers can gain insight into the elastodynamics behavior of the mechanical system under design.

In the Cartesian mass-spring model, the system elastodynamics behaviour is governed by a second-order differential equation in the time-domain, in terms of the six-dof small-amplitude displacement screw of the MP. The stiffness is represented by means of Lončarić’s 6 × 6 Cartesian stiffness matrix (CSM) of the Cartesian spring, the inertia by what von Mises termed the inertia dyad, i.e., the 6 × 6 Cartesian mass matrix (CMM) of the rigid MP. The stiffness system modelling is based on the virtual joint method, whereby each flexible link is replaced by a rigid link and a virtual joint. The PKM with flexible links is thus transformed into a multi-rigid-body system. Then, with the help of knowledge on the multi-rigid-body system, the CSM is put forward. By means of the modified eigenproblem of the CSM, three types of elastostatic performance indices are defined. These concepts are used to evaluate, respectively, the overall stiffness, the translational stiffness and the torsional stiffness of the PKM. Different types of elastostatic performance indices allow us to choose the most appropriate one to optimize the dimensions of the robot so as to making it insensitive to frequencies affecting its higher modes. Furthermore, the Cartesian frequency matrix (CFM) is defined as a congruent transformation of its stiffness counterpart, the transformation matrix being the inverse of the square root of the positive-definite CMM. The CFM thus defined is dimensionally-homogenous, symmetric and at least positive-semidefinite. Upon the eigenvalue decomposition of the same matrix, the natural frequencies and the corresponding natural modes, i.e., the eigenscrews of the system, are obtained, to evaluate the system elasodynamics performance. The physical meaning of the CFM, together with that of its eigenvalues and eigenscrews, are given due interpretation in the thesis, within the context of screw theory

L’auteur epropose une nouvelle classe de machines à cinématique parallèle, à trois membres, et à mobilité complète (abrégée PKM dans la the´se), le SDelta, qui offre une alternative prometteuse aux plateformes traditionnelles dites Stewart-Gough à six membres. Cette architecture, plus simple, à un nombre reduit de composants mobiles, offre une charge inertielle plus faible, ce qui étend son domaine d’application. Le SDelta s’avère capable de générer des mouvements à haute fréquence et de faible amplitude (HFFA), qui peuvent être utilisés, par exemple, pour l’identification des paramètres d’inertie des corps rigides.

Les travaux antérieurs sur les PKM à trois membres et à mobilité complète portent sur la conception de l’architecture et sur l’analyse de cinématique, de singularité et de dextérité. Ces travaux out été effectué en modélisant le PKM comme un système à plusieurs corps rigides. Cependant, pour les applications HFFA, o`u des vitesses élevées sont requises, la flexibilité inhérente des tiges de membres légèrs doit être prise en compte. Ainsi, le PKM doit être modélisée comme un système multicorps portant des membrures rigides et flexibles. Dans cette optique, un modèle linéaire élastodynamique à multiples paramètres discrets est essentiel, car il comporte la rigidité du système et les caractéristiques de vibration de manière exhaustive.

Au lieu d’un modèle généralisé détaillé à n degrés de liberté considérant la flexibilité et l’inertie de tous les liens du système, l’auteur propose un modèle simplifié à six degrés de liberté du système dans l’espace cartésien. Ce modèle convient particulièrement aux systèmes mécaniques à membrures flexibles dont la plateforme d’opération est beaucoup plus rigide et plus lourde que ses homologues la couplant à la base rigide. Dans ce cas, le modèle du système se réduit à une plateforme mobile (PM) rigide montée sur une suspension linéairement élastique à masse négligeable. Selon cette hypothèse, l’inertie du système est regroupée dans la plateforme mobile rigide, tandis que la raideur du système s’exprime à l’aide d’un ressort cartésien. L’ensemble du système se reduit à un modèle cartésien masse-ressort. Ce modèle s’avère non seulement une extension naturelle de son homologue masse-ressort à un degré de liberté, mais aussi une simplification pertinente du modèle généralisé à n degrés de liberté. Notre modèle est considéré comme un outil pratique et utile dans le cadre des phases de conception préliminaires, dans lesquelles les dimensions détaillées du système mécanique ne sont pas encore déterminées. En outre, l’espace cartésien est plus intuitif et plus facile à visualiser que son homologue à n(> 6) degrés de liberté. A l’aide de la théorie des vis, adaptée aux modèles cartésiens, l’ing ` énieur peu visualiser le comportement élastodynamique du système mécanique en question.

Dans le modèle masse-ressort cartésien, le comportement élastodynamique du système est gouverné par une équation différentielle du deuxième ordre dans le domaine temporel, en termes de la vis de déplacement de faible amplitude à six degrés de liberté de la PM. La raideur se modèle au moyen de la matrice cartésienne de raideur (MCR) 6×6 de Lončarić, du ressort cartésien, et l’inertie par ce que von Mises a appelé la dyade d’inertie, c’est-àdire la matrice cartésienne 6 × 6 de masse (MCM) de la PM rigide. La modélisation de la raideur du système se base sur la méthode de l’articulation virtuelle, o`u chaque lien flexible est remplacé par un lien rigide et une articulation virtuelle. Le système mécanique portant des liens rigides et flexibles se transforme ainsi en un système à plusieurs corps rigides, dit multicorps. Ensuite, à l’aide des connaissances sur les systèmes multicorps, l’auteur propose, la MCR. Au moyen du problème à valeurs propres modifié de la MCR l’auteur définit trois types d’indices de performance élastostatique. Ces concepts sont ensuite utilisés pour évaluer la raideur globale, la raideur de translation et la raideur de torsion de la PKM. Différents types d’indices de performance élastostatique nous permettent de choisir la raideur la mieux adaptèe à l’optimisation des dimensions du robot de manière à le rendre insensible aux fréquences affectant ses modes supérieurs. En outre, la matrice cartésienne de fréquence (MCF) se définit comme transformation congruente de sa contrepartie de raideur, la matrice de transformation étant l’inverse de la racine carrée de la matrice définie positive de MCM. La MCF ainsi définie est dimensionnellement homogène, symétrique et au moins semi-définie positive. Après analyse de valeurs propres de cette matrice, on obtient les fréquences naturelles et les modes naturels correspondants, c’est-à-dire les vis propres du système, qui servent à évaluer la performance élastodynamique du système. La thèse se termine par l’interpretation physique de la MCF au moyen de ses valeurs et vecteurs propres.