Cette thèse porte sur l’étude du problème de la commande avec contraintes des systèmes linéaires continus à retards. Deux approches dans la littérature se sont données à développer des méthodes adéquates pour examiner la stabilité et contribuer à des procédures et outils de stabilisation. La première, considère l’effet de la saturation, tandis que la deuxième approche, basée sur la théorie d’invariance positive, repose principalement sur la conception d’une loi de contrôle non saturante ayant un comportement linéaire dans le domaine des contraintes. Des résultats concernant l’application du concept d’invariance positive à la stabilisation des systèmes à retards soumis à des contraintes ont été développés, mais restent restrictifs, de fait qu’ils sont indépendants du retard, un paramètre essentiel du système.

On développe alors, dans la première partie de cette thèse des conditions nécessaires et suffisantes dépendantes du retard afin de garantir l’invariance positive de domaine des contraintes par rapport aux trajectoires de systèmes autonomes à retard. Ce résultat repose sur la transformation de premier ordre, basée sur la formule de Newton-Leibniz, de système original à retard discret, en un système à retard distribué. Une fonction de Lyapunov-Razumikhin associée au système à retard distribué garantissant la stabilité asymptotique dépendante de retard de système original est proposée.

L’objectif principal visé dans la deuxième partie de cette thèse est d’appliquer le résultat du concept d’invariance positive dépendante du retard au problème de la commande sous contraintes, dissymétriques ainsi que symétriques, des systèmes à retards. Ainsi des conditions permettant la synthèse d’un régulateur par retour d’état stabilisant le système en boucle fermée en présence des contraintes, sont données. Ces conditions permettent de formuler un algorithme basé sur des schémas de Programmation Non Linéaire (NLP), ayant pour objectif la détermination du régulateur stabilisant le système en boucle fermée avec une borne maximale du retard. En effet la loi de retour d’état calculée assure, d’une part, la stabilité asymptotique de système sans retard, et d’autre part, la maintenir pour une valeur d’une borne maximale de retard, tout en respectant les contraintes :​ c’est la loi de commande sous contraint robuste vis à vis le retard. Les résultats obtenus sont intéressants et plus généraux que ceux développés dans la littérature.

La troisième partie de cette thèse montre, pour la première fois à notre connaissance, que les observateurs intervalles, en appliquant le concept d’invariance positive, peuvent apporter des réponses intéressantes au problème de la commande sous contraintes des systèmes linéaires à retards, variable dans le temps. L’originalité de notre démarche consiste à proposer une tech- nique de synthèse des deux gains d’observateurs intervalles majorant et minorant en résolvant un système d’équations matricielle de Sylvester. Des conditions assurent la positivité et la stabilité d’erreurs d’observation intervalle sont données. La loi de commande sous contraintes est alors construite à partir des états des bornes inférieur et supérieur de l’observateur intervalle. L’application de concept d’invariance positive sera porté donc sur le système augmenté formé par la dynamique de système original et celle des erreurs minorant et majorant d’observations intervalle. Par un choix judicieux d’une fonction de Lyapunov-Krasovskii, on propose des conditions garantissant la stabilité asymptotique de système en boucle fermée tout en respectant les contraintes imposées sur la commande. En effet ces conditions assurent, d’une part, l’existence d’un plus grand domaine(ellipsoïde), inclus dans l’ensemble des commandes admissibles, positivement invariant par rapport aux trajectoires de système augmenté et, garantissent, d’autre part, la stabilité asymptotique en boucle fermée de système augmenté pour une borne maximale de retard. La synthèse de la loi de commande est donnée finalement par un algorithme de calculs, basé sur la technique de l’inégalité matricielle linéaire (LMI). Les résultats obtenus montrent une belle performance de design de la loi de commande sous contraintes des systèmes linéaires à retards, variable dans le temps.

In this thesis, the stabilization problem of linear continuous-time delay system with constrainted control is studied. There are two main approaches in the literature dealing with the problem of performance and stability of dynamical constrained control systems. The first one considers the effect of saturation while guaranteeing asymptotic stability. The second one, so-called positive invariance approach, is based on the design of the control law which works inside a region of linear behavior where saturations do not occur. Most of the works related to positive invariance concept have been developed for time delay systems with constrained control, but remain so restrictive, given that they are independent of delay, which is an essential parameter of the system.

In the first part of this thesis, the necessary and sufficient algebraic conditions with delay dependence allowing to obtain the largest positively invariant set of delay system are given. The results can include information on the size of delay, and therefore, can be delay dependence positively invariant conditions. Based on the Newton-Leibniz formula, these results use a transformation form an original system with discrete delay to a system with distributed delay. A Lyapunov-Razumikhin function for system with distributed delay, in order to guarantee the asymptotic stability of the original system is proposed.

The second part of this thesis, is to apply the concept of the delay dependent positive invariance to the robust regulator problem of continuous time delay system with symmetric and non-symmetric constraints. In fact the synthesis of state-feedback controllers is solved based on delay-dependent positively invariant set of system in closed-loop. We first obtain the necessary and sufficient algebraic conditions with delay dependence allowing to obtain the largest positively invariant set of delay systems, then we convert the constrained control problem into a Non-Linear Programming (NLP) problem with delay the objective function to be maximized. Indeed the control is firstly chosen in order to stabilize the closed loop system, free of delay, then to guarantee the asymptotic stability of the closed loop system with delay-dependence.

To the best of our knowledge, it is the first time, that the output stabilization problem for time-varying delay systems with constrained control based on the interval observer technique by using the dependent delay positive invariance concept is studied. Hence, first both matrices observer gain, the lower and the upper, are obtained by solving a Sylvester’s matrix equation. Second, the interval observer is developed and guaranteed the positivity of the upper and lower observations errors. The design of the controller for given lower and upper observer respectively, which dependent on the states of interval observer system is developed. By a reasonable choice of a Lyapunov-Krasovskii functional, we propose the conditions that guarantee the asymptotic stability of closed loop system respecting control constraints. However these conditions, provide, first the existence of the largest ellipsoid that is positively invariant set with respect to augmented closed-loop system and also included in the set of admissible controls. Second, they guarantee the depend delay asymptotic stability of the augmented closed-loop system. Finally an LMI algorithm is proposed to compute the stabilizing control laws for time-varying delay systems with constraints. The results show a good performance design of constrained control for time-varying delay systems.