Atmospheric icing of overhead power lines creates many serious electrical and mechanical problems in the transmission network due to the high adherence of ice to substrates. To avoid major breakdowns in the power network during severe ice storms, the improvement in mechanical characteristics of the line components, as well as anti-icing and de-icing techniques should be taken into consideration. The successful development of those techniques, in turn, requires good knowledge of the adherence and bulk strength characteristics of atmospheric ice.

The main objective of this research, as a part of the general ice shedding problem, is to present a model for viscoplastic behaviour of porous atmospheric ice in the ductile region. The effects of cracking activities should be added to the model to predict the material behaviour in transition and brittle regions. This can be done by modifying the formulations of elastic, viscoelastic and plastic material parameters for cracking activities, as well as the yield envelopes in higher ranges of strain rates.

A literature survey revealed that some models have been developed to predict the mechanical behaviour of ice over the past two decades. However, almost all the models predict the mechanical behaviour of bubble-free freshwater ice. Thus, the pressure dependency in material constitution, induced by the presence of air bubbles, has not been considered in those models. The porosity of atmospheric ice varies depending on the accretion regime, sometimes by as much as 35%, corresponding to ice densities from 917 down to 600 kg/m³. The results of some laboratory tests carried out on porous sea ice shows the significant influence of porosity on the elastic moduli and strength of ice.

The material tests carried out on various types of polycrystalline ice show that ice normally exhibits creep behaviour at an ambient temperatures higher than -40°C. This means that the mechanical behaviour of ice is rate sensitive and temperature dependent, and a minimum of three macroscopically observed strain components, namely instantaneous elastic, delayed viscoelastic, and inelastic strains, describe the material constitution. The complex nature of this problem originates from nonlinear creep deformation, ductile to brittle behaviour of ice that depends highly to strain rates, numerous material parameters, complexity of the mechanism of crack propagation, and the difficulties due to its consideration into the constitutive equations.

The methodology for solving the resulting system of non-linear governing equations is based on the principles of virtual work leading to the weak integral form of the governing differential equations suitable for applying the finite-elements method. The material constitutive equations are in rate form, hence the generalized trapezoidal time-integration technique (Explicit Forward / Implicit Backward Euler Scheme) is applied. The latter scheme provides unconditional stability for integration, while the stability of the former scheme depends on the size of time steps. In addition, the incremental linearization method is sufficient for solving this system of non-linear equations. In this work, however, the ABAQUS FE mechanical analysis program is used and the material evolution is described by means of a user material subroutine (UMAT) appropriate for numerical computations. The methodology of this work is then reduced to the manner of formulating the elastic, viscoelastic, and plastic deformation mechanisms for various types of atmospheric ice deposits naturally accreted on power lines and of implementing those constitutive equations into the ABAQUS program.

To find the applicability domain of each mathematical model for the case of atmospheric ice, the texture (morphology) and fabric of ice deposits on power lines should be known. To this end, a detailed microstructure and bubble-content observation of atmospheric ice deposits was reported by Laforte et al. (1983). The grain and bubble structures were studied at various meteorological conditions;​ however, the c-axis direction still was undetermined, ha this work, hence, a series of complementary microstructure observations were performed, which identified that the glaze deposits have a structure similar to that of S2 columnar ice (freshwater ice), while SI columnar ice is mostly observed in the transition and beginning regions of dry-regime ice accretions (hard rime). On the other hand, the granular structure is observed at a very dry regime of ice accretion (soft rime). The general methodologies below are followed in this research for describing the ductile behaviour of porous atmospheric ice:​

1) Instantaneous elastic strain:​ Hooke's law relates the elastic strain field to the corresponding applied stress. The elastic moduli of freshwater polycrystalline ice are determined from the monocrystal (single crystal) data by using Hill's (1952) averaging technique. The monocrystal elastic constants measured by Gammon et al. (1983) were used to determine the temperature-dependent elastic moduli of polycrystalline bubble-free ice. The upper and lower bounds for each elastic modulus of polycrystal are determined using Voigt (1910) and Reuss (1929) averaging techniques, and then the averaged value is considered as the elastic moduli of polycrystalline freshwater ice.

The modification for porous ice is possible by defining the effective stress in porous material that consists of the stress induced in solid material and the pore pressure. Two extreme situations, namely drained and undrained models, are considered, in each case the Voigt (1910) and Reuss (1929) hypothesis were used to calculate the pore pressure, the effective stress and strain, and the variation in fluid content. The drained model is then applied to the poroelastic problems for glaze deposits, while the undrained model is more suitable for rime deposits.

2) Delayed viscoelastic strain:​ The short-term rheology proposed by Sinha (1978) is used to formulate the delayed viscoelastic strain induced by grain boundary sliding as a function of elastic strain. The temperature dependency of viscoelastic behaviour is considered in the model by means of a shift function. The effect of porosity, on the other hand, is entered into the formulations by replacing the elastic strain with the corresponding magnitude of effective strain in porous material. Finally, a structural change function is also defined for considering the influence of plastic deformation onto this viscoelastic strain. The material parameters induced into the formulation of viscoelastic strain are selected from the measurements of Derradji-Aouat (2000).

3) Permanent plastic strain:​ The formulation of plastic deformation is developed based on the cap-model plasticity theory and by considering a set of internal / state variables, in this case, the plastic strains and strain rates. This quasi rate-independent plasticity model for porous ice includes pressure-sensitive yielding, difference in tensile and compressive strengths, porosity dependency, as well as rate and temperature dependency of material parameters. The yield surface, in this case, includes three main segments:​ a parabolic modified Drucker-Prager shear-yield surface, an elliptical moving cap that intersects the pressure stress axis, and a tensile cutoff. The shear-yield criterion describes the pressure dependency of ice strength by means of three parameters:​ the material cohesion, the friction angle, and the hydrostatic pressure at maximum shear strength. The current state of the cap is determined by two internal variables:​ the pressure at maximum shear strength of porous ice, and the melting pressure. The pressure at tensile strength is the only material parameter in relation with the tension cutoff. The test data of Jones (1982), Rist and Murrell (1997), and Nadreau and Michel (1984) are used to determine the material parameters of shear-yield envelope for bubble-free ice, which is affected by ice structure, temperature, and strain rate, but unaffected by grain size. An associated flow rule and one hardening parameter for cap yielding are used in this work. The effect of porosity is considered into the model by means of the effective stress definition.

Finally, the major scientific contributions of this study can be categorized by considering the pre-defined objectives and by pursuing the described general methodology as:​ (a) classification of atmospheric ice structure on power lines on the basis of its grain shape (texture) and c-axis orientation (fabric);​ (b) presenting three computer codes in Maple Mathematical Program for determining the elastic moduli of various types of freshwater ice (granular, columnar SI, S2, S3);​ (c) presenting a poroelastic model for modifying the elastic moduli of porous atmospheric ice;​ (d) presenting a cap-model plasticity for various types of porous atmospheric ice;​ (e) presenting the new. freshwater ice yield envelopes in ductile region, which has a better agreement with the available test data, and then generalizing them to take the porosity into consideration by means of an elliptical moving cap;​ and (f) developing a user-defined material subroutine (UMAT) for viscoplastic behaviour of atmospheric ice in ductile region including the poroelastic, viscoelastic, and cap-model plasticity.

Le givrage atmosphérique des lignes de transport d'énergie électrique peut causer de sérieux problèmes aux réseaux de transport et de distribution en raison de la forte adhésion de la glace aux substrats. Afin d'éviter des pannes majeures d'électricité causées par de sérieuses tempêtes de verglas, l'amélioration des caractéristiques mécaniques des composantes des lignes de transport ainsi que les techniques anti-givre et de dégivrage doivent être considérées. Le développement de ces techniques exige, à son tour, des connaissances approfondies sur les forces d'adhésion et les caractéristiques de résistance volumiques de la glace atmosphérique.

L''objectif principal de cette recherche, dans le cadre de la problématique générale du délestage de glace, est de présenter un modèle du comportement ductile viscoplastique de la glace atmosphérique poreuse. Les effets des activités de fissuration devraient être ajoutés au modèle afin de prédire le comportement du matériau en transition et dans des régions fragiles. Cela peut se faire en modifiant, tant les formulations des paramètres élastique, viscoélastique et plastique des matériaux pour mieux tenir compte de l'activité de fissuration, que les surfaces d'écoulement pour refléter l'effet des taux élevés de déformation.

Un survol de la littérature a démontré que certains modèles ont été développés, depuis environ deux décennies, afin de prédire le comportement mécanique de l'eau douce glacée. Toutefois, pratiquement tous les modèles prédisent le comportement mécanique de l'eau douce glacée uniforme. Ainsi, l'effet de la pression sur le comportement du matériau, induit par la présence de bulles d'air, n'a pas été considéré dans ces modèles. Cependant, la porosité de la glace atmosphérique varie en fonction du régime d'accumulation, parfois jusqu'à 35 %, ce qui correspond à des densités de glace allant de 917 kg/m3 à 600 kg/m³. Les résultats d'essais en laboratoire effectués sur de la glace poreuse ont démontré l'influence significative de la porosité sur le module élastique et la résistance de la glace.

Les essais de matériaux effectués sur différents types de glace polycristalline montrent que la glace présente un comportement de type fluage à des températures au dessus de -40°C. Cela veut dire que le comportement mécanique de la glace est sensible à la vitesse de déformation et à la température, et qu'un minimum de trois composantes de déformations macroscopiques, notamment les déformations élastiques (instantanées) et inélastiques, soit de type viscoélastique à retardement et de type viscoplastique (irréversible), décrivent la réponse du matériau. La nature complexe de cette question est due au fluage non linéaire, à la transition de la glace de son état ductile à son état fragile en fonction des taux de déformation, de même qu'à plusieurs paramètres du matériau, à la complexité dans la propagation des fissures, et aux difficultés associées à sa transposition dans des équations constitutives.

La méthodologie utilisée pour résoudre le système d'équations non linéaires est basée sur le principe des travaux virtuels qui conduit à une formulation intégrale adaptée à l'application de la méthode des éléments finis. Le comportement du matériau est exprimée sous forme incrémentale, ce qui requiert un schéma pour l'intégration de la loi d'évolution du comportement en utilisant par exemple un algorithme basé sur la méthode trapézoïdale généralisée (schéma d'Euler implicite / explicite). Le schéma implicite est inconditionnellement stable, alors que la stabilité du schéma explicite est fonction du pas de temps choisi. De plus, une méthode de linéarisation incrémentale suffit pour résoudre ce système d'équations non linéaires. Dans la présente recherche toutefois, le logiciel de calcul des structures ABAQUS est utilisé et le comportement du matériau est décrit à l'aide d'un sous-programme d'intégration numérique d'une loi de comportement spécifique à l'usager (UMAT). La méthodologie de la présente recherche est ensuite adaptée à la formulation des lois de comportements élastiques, viscoélastiques et plastiques pour différents types de glace atmosphérique naturelle accumulée sur des câbles électriques et à leur implementation dans le logiciel ABAQUS.

Afin de déterminer le domaine d'application de chaque modèle mathématique pour la glace atmosphérique, la texture (morphologie) et la structure des dépôts de glace sur les câbles doivent être connues. Pour ce faire, une étude détaillée de la microstructure et du contenu en bulles d'air de la glace atmosphérique a été conduite par Laforte et al. (1983). La structure du grain et des bulles d'air a été étudiée dans diverses conditions atmosphériques, mais la direction des « c-axis » demeurait inconnue. Dans la présente étude, une série d'obstervations complémentaires de la microstructure ont été conduites et ont démontré que la structure des dépôts de verglas était similaire à celle de la glace en colonne de type S2 (eau douce glacée), alors que la glace en colonne de type SI est généralement observée dans les régions de transition et initiales du régime d'accrétion de glace dans des conditions sèches (givre lourd). Par contre, la structure granulaire s'observe dans un régime d'accrétion dans des conditions très sèches (givre léger). Dans ce travail, nous utilisons la méthodologie générale suivante pour décrire le comportement ductile de la glace atmosphérique poreuse :​

1) Déformations élastiques instantanées :​ La loi de Hooke établit une relation entre le champ de déformations élastiques et le champ de contraintes associé. Les modules élastiques de la glace polycristalline uniforme sont déterminés à partir des valeurs du monocristal obtenues par une technique d'étalement de Hill (1952). Les constantes élastiques du monocristal, mesurées par Gammon et al. (1983), ont été utilisées afin de déterminer les modules élastiques de la glace uniforme. Les limites supérieures et inférieures de chaque module élastique du polycristal sont déterminées à l'aide des techniques de calcul des moyennes de Voigt (1910) et de Reuss (1929), et la valeur moyenne obtenue est considérée comme étant le module élastique de la glace polycristalline.

La modification pour la glace poreuse est rendue possible en définissant la contrainte effective d'un matériau poreux qui consiste en une contrainte induite dans le matériau solide et en une pression des pores. Deux situations extrêmes, c'est-à-dire les modèles avec drainage et sans drainage, sont pris en considération et dans chaque cas, les hypothèses de Voigt (1910) et de Reuss (1929) sont utilisées pour calculer la pression des pores, la force et la contrainte effectives, de même que la variation du contenu liquide. Le modèle avec drainage est alors appliqué aux questions poro-élastiques pour les dépôts de verglas et le modèle sans drainage est mieux adapté pour les dépôts de givre.

2) Déformation viscoélastique à retardement :​ La rhéologie à court terme proposée par Sinha (1978) est utilisée pour formuler la contrainte viscoélastique à retardement induite par glissement à la frontière du grain en fonction de la déformation élastique. L'effet de la température sur le comportement viscoélastique est introduit à l'aide d'une fonction de décalage dans le modèle. L'effet de la porosité, pour sa part, est intégré dans les formulations en remplaçant la déformation élastique par l'intensité de la contrainte effective correspondante d'un matériau poreux. Finalement, une fonction de changement structurel est définie afin de considérer l'influence de la déformation plastique sur la contrainte viscoélastique. Les paramètres du matériau induits dans la formulation pour la contrainte viscoélastique ont été choisis à partir des calculs de Derradji-Aouat (2000).

3) Déformation plastique permanente :​ La formulation pour la déformation plastique est développée à partir de la théorie du modèle « cap-plasticity » et en considérant une série de variables internes, les déformations plastiques et leur taux de variation. Le modèle de plasticité pour la glace poreuse inclut la limite élastique, les différences entre le comportement en traction et en compression, de même que les effets de la porosité et de la température. La surface de charge ou fonction d'écoulement, dans ce cas-ci, inclut trois segments importants :​ un segment parabolique d'écoulement en cisaillement de type Drucker-Prager modifiée, un segment « cap » elliptique qui intersecte l'axe de contraintes hydrostatique et un segment définissant la limite en tension. La critère d'écoulement en cisaillement décrit l'effet de la pression sur la résistance de la glace à l'aide de trois paramètres :​ la cohésion du matériau, l'angle de friction et la pression hydrostatique correspondant à la contrainte de cisaillement maximale. L'état actuel du «segment cap» est déterminé par deux variables internes :​ la pression à la contrainte de cisaillement maximum et la pression de fusion de la glace poreuse. La pression à la limite de résistance en tension dans la région ductile est le seul paramètre du matériau en relation avec les limitations en tension. Les données d'analyses de Jones (1982), Nadreau et Michel (1984), et Rist et Murrell (1997) sont utilisées afin de déterminer, en fonction de la surface d'écoulement en cisaillement pour la glace uniforme, les paramètres du matériau qui sont affectés par la structure de la glace, sa température et son taux de déformation, mais qui ne sont pas affectés par la dimension du grain. Une loi d'écoulement associée et un paramètre d'écrouissage du segment cap sont utilisés dans ce travail. L'effet de la porosité est considéré dans le modèle à l'aide d'une définition de la contrainte effective.

Enfin, la catégorisation des contributions scientifiques majeures de cette recherche peut se faire en considérant les objectifs initialement définis et en suivant la méthodologie générale comme suit :​ (a) en classifiant la structure de la glace atmosphérique accumulée sur les câbles électriques en fonction de la forme des grains (texture) et de l'orientation du «c-axis» (structure) ;​ (b) en introduisant trois programmes développés dans le progiciel Maple Mathematical Program afin de déterminer les modules élastiques pour différents types d'eau douce glacée (glace granulaire et en colonne SI, S2 et S3) ;​ (c) en introduisant un modèle poroélastique afin de modifier les modules élastiques de la glace atmosphérique poreuse ;​ (d) en introduisant un modèle de plasticité de type « cap-model » pour différents types de glace atmosphérique poreuse ;​ (e) en présentant une nouvelle fonction d'écoulement dans la région ductile d'eau douce gelée, qui est en meilleur accord avec les données d'analyses disponibles, et ensuite en les généralisant pour inclure la porosité à l'aide d'un « cap » elliptique mobile;​ et (f) en développant un sous-programme d'une loi de comportement viscoplastique spécifique à l'usager (UMAT) pour la glace atmosphérique dans la région ductile, incluant les domaines poroélastique, viscoélastique, et « cap-model » de platicité.