Dans cette thèse, on présente une nouvelle méthode numérique pour la solution des équations de Navier-Stokes incompressibles et instationnaires dans des domaines cylindriques non confinés. Cette méthode apparaît comme une nouvelle application de la formulation des expansions vectorielles à divergence nulie proposée par Leonard et possède donc les caractéristiques suivantes :​ i) représentation exacte de l'équation de continuité ;​ ii) élimination complète de la variable de pression ;​ iii) intégration temporelle implicite du terme de diffusion sans coûts additionnels ;​ et iv) réduction du nombre d'inconnus (vitesse) de trois à deux. Une autre caractéristique importante de la méthode, qui de fait lui confère une bonne part de son originalité, est l'inclusion de polynômes par morceaux de type "B-spline" dans la direction radiale semi-infinie.

Plus particulièrement, la discrétisation spatiale est constituée d'une combinaison de séries de Fourier dans les directions longitudinale (périodicité physique des écoulements avec évolution temporelle) et azimut ale (périodicité géométrique), et de B-splines projetés sur un domaine radial unitaire. La fonction de projection choisie permet une représentation exacte, jusqu'à un certain ordre, des comportements asymptotiques à l'infini, En plus de ces comportements asymptotiques, des conditions de régularité complète sont imposées au centre du domaine (r = 0). Grâce au caractère mixte spectral/B-spline des expansions vectorielles, un compromis intéressant est obtenu entre le découplage provenant de l'orthogonalité des séries de Fourier et la flexibilité de positionnement de résolution propre aux méthodes locales. De même, le caractère local des B-splines permet aussi d'inclure une variation radiale de la troncation azimutale. La base vectorielle ainsi construite est ensuite utilisée dans une méthode de résidus pondérés de type Galerkine, d'où on obtient une réduction du problème complet 3-D en un ensemble de sous-problèmes radiaux 1-D. L'intégration temporelle de ces sous-systèmes d'équations est quant à elle effectuée avec le schéma mixte explicite/implicite du quasi troisième ordre proposé par Spalart et al. (J. Comp. Phys., 96, 297, 1991). La formulation de Galerkine est aussi utilisée pour l'obtention d'un programme de calcul de valeurs propres pour les problèmes de stabilité iinéaire. Une version pour domaines confinés par une paroi cylindrique a de plus été développée. Das ce cas, la version confinée de la présente méthode devient équivalente à celle proposée par Loulou et al. (NASA TM-110436, 1997).

La validation des différents programmes de calcul (Navier-Stokes et valeurs propres) a été effectuée en comparant des résultats obtenus par la présente méthode avec des valeurs de référence. Les problèmes considérés pour faire ces comparaisons sont liés à la stabilité d'un modèle de tourbillon de sillage ainsi qu'à la stabilité et à l'évolution non linéaire d'un tourbillon triangulaire. Les résultats obtenus ont permis de conclure, d'une part, que le gain réalisé entre la méthode B-spiine non confinée et celle confinée n'est que marginal. D'autre part, les comparaisons faites avec les autres méthodes purement globales ont permis de conclure que la méthode proposée ici représente une alternative avantageuse aux méthodes globales comparées, particulièrement pour le calcul d'écoulements avec symétrie axiale.

In this thesis, a new numerical method to solve the incompressible, unsteady NavierStokes equations in unbounded cylindrical domains is presented. The method cornes as a novel application of Leonard's divergence-free vector expansions approach, and therefore possesses the following characteristics:​ i) exact treatment of the continuity constraint;​ ü) complete elimination of the pressure variable;​ iii) implicit time integration of the diffisive term at no extra cost;​ and iv) reduction of the number of (velocity) unknowns from three to two. Another important feature of the method, that indeed represents the originality of the present formulation, is the introduction of mapped B-spline piecewise polynomials for the discretization of the semi-infinite radial direction.

More specifically, the spatial discretization is constructed from a combination of Fourier series, for both the longitudinal (physical periodicity of temporal evolvhg flows) and azimuthal (geometricd periodicity) directions, and of Bsplines on a mapped unitary radial domain. The particular choice of mappiag function allows for an exact representation of algebraically decaying functions, up to some finite order. Besides the imposition of proper decaying conditions in the far field, complete (finite order) regularity conditions are also imposed at the center point r = O. These mixed ~pectral/B-sphe expansions, used to form the divergence-free vector basis functions, yield an efficient compromise between the high uncoupling asaociated with the orthogonality of Fourier series and the resolution positioning flexibility that is characteristic of local methods. The local character of the B-splines furthemore allows for a radiai variation of the azimuthal truncation. The resulting vector basis functions are ap plied to in Galerkin type weighted residual formulation that transforms the complete 3-D problem into a set of small 1-D radial ODE'S that are mardied in time. For that latter task, the quasi-third order, rnixed explicit/implicit scherne proposed by Spalart et al. (J. Comp. Phys., 96, 297, 1991) is used. The Galerkin formulation dso serves for the development of an eipnvaiue solver for linear stability problems. Finally, a wall-bounded version of this method, equivalent to the one presented by Loulou et al. (NASA TM-1 10436, 1997), is also produced in this work.

The validation of the different Navier-Stokes and eigenvalue solvers is achieved by comparing linear stability results, and nonlinear dynamics predictions with other benchmark data. The particular flow problems considered are related to the stability of a trsiling line vortex, and the stability and nonlinear dynamical evolution of a special dass of zero circulation vortex that leads to the formation of a triangular vortex. On one hand, comparisons made between the unbounded B-spline formulation and the wall-bounded version of the method have shown only a marginal advantage of the former method over the latter. On the other hand, comparisons made with the data obtained by purely global expansions approximation methods prove the present spectral/B-spline method to be an advantageous alternative to these global methods for the computation of unbounded flow problems having an intrinsic 8Xid symmetry