Cette thèse est divisée en deux parties majeures:​ la première partie discute de la modélisation d'un système à un bras flexible et la deuxième présente une stratégie de commande basée sur la passivité du même système. Les déformations de ce système sont continues. Elles dépendent des coordonnées spatiales et du temps. Nous sup- posons que ces déformations sont faibles par rapport à la longueur du bras flexible, nous tenons compte de l'allongement longitudinal du bras et nous considérons un mouvement dans le plan vertical.

Nous utilisons le principe de Hamilton pour développer la dynamique non linéaire de ce système. Cette dernière sera représentée par des équations aux dérivées or- dinaires et des équations aux dérivées partielles associées avec des conditions aux frontières. Les équations différentielles sont spatialement discrétisées moyennant une série de fonctions polynomiales ou trigonométriques. Nous utilisons la méthode de modes supposés et la méthode d'éléments finis pour cette discrétisation. Nous unifions ces deux méthodes dans une seule méthode de type modes supposés. Lors du choix de ces fonctions, nous disposons de plusieurs variantes soit :​ les fonctions polynomiales, les fonctions de forme d'une poutre tournante, les fonctions de forme des poutres encastrées à la base avec ou sans charge à l'extrémité, les splines ou les B-splines cubiques.

La précision du modèle spatialement discret dépend, entre autre, de ces fonctions, de leurs formes, des conditions qu'elles vérifient, de leur nature, globale ou locale, et la discrétisation spatiale. Ces critères dépendent de la rapidité de convergence des fréquences propres, des modes propres et de leurs dérivées, des déformations statiques et de leurs dérivées, ainsi que de la taille de calculs engendrés par les modèles discrets.

La convergence des fréquences du modèle discret est un critère important car elle indique la convergence de l'erreur entre les fréquences réelles et les fréquences approximées par le modèle discret. Nous proposons un théorème de convergence des fréquences propres du modèle discrétisé avec les splines cubiques. Ce théorème démontre que la précision du modèle discret augmente en augmentant le nombre d'éléments utilisé.

Globalement, nous recommandons, sur la base de la comparaison des modèles discrets présentée au chapitre 5, l'utilisation des fonctions de forme d'une poutre encastrée avec charge ou l'utilisation des splines cubiques avec les courbures comme coordonnées généralisées. Pour les splines cubiques, nous recommandons d'ajouter une fonction de forme de plus à ce qui est requis. Pour une structure à plusieurs bras, nous recommandons l'utilisation des splines cubiques car elles sont plus simples à générer que les fonctions propres d'une poutre encastrée et sont indépendantes des paramètres du système sauf de la longueur des bras.

Le modèle correspondant à l'extrémité du système à un bras flexible est à déphasage non minimal. Ce modèle est donc non passif. Pour remédier à ce problème, nous choi- sissons une sortie appropriée le long du bras flexible de façon à ce que le modèle correspondant soit passif et à déphasage minimal. La sortie choisie est constituée de l'angle de rotation du moteur plus une valeur pondérée de la déformation de l'extrémité. Cette sortie est paramétrisé par un paramètre réel. Nous présentons alors une stratégie de commande basée sur la passivité du système à un bras flexible. Une caractéristique importante de la passivité est que tout contrôleur strictement passif, soit un contrôleur proportionnel, peut stabiliser la sortie considérée. Ce qui facilite l'implantabilité de cette loi de commande ainsi que la synthèse du contrôleur. L'ob- jectif est de sélectionner la sortie pour qu'elle soit aussi proche de l'extrémité de façon à ce que la relation entre le couple moteur et la sortie soit passive. Nous procédons en deux parties.

Dans la première, nous considérons un modèle linéaire du système avec différentes fonctions de forme. Nous proposons une étude analytique de la passivité des fonctions de transferts correspondantes. En négligeant le frottement du système, nous pouvons tirer des conclusions générales dépendantes des fonctions de forme utilisées ainsi que des caractéristiques physiques du système. Le paramètre réel caractérisant la sortie n'est plus un simple paramètre mais peut être considéré comme un paramètre de design du bras. Dans ce sens, nous pouvons choisir les caractéristiques du système à un bras flexible de façon que la sortie proposée soit proche de l'extrémité.

Dans la deuxième partie, nous considérons le système non linéaire dans le plan ver- tical. Nous utilisons encore la passivité pour démontrer la convergence asymptotique de la dynamique de l'erreur entre la sortie proposée et la référence.

The diversity of the shape functions used in the spatial discretization of the dynamics of flexible robots complicates the task of selecting a particular shape function for a particular robot type. For a desired precision, an appropriate choice of the shape functions may result in a smaller order model, leading to a simpler simulation and an easier control design. This thesis develops the model of a one-link flexible system considering gravity effects. Several assumed modes are used in the spatial discretiza- tion process. Namely, the eigenfunctions of a rotating beam, the eigenfunctions of a clamped-free beam, the eigenfunctions of a clamped-payload beam, the polynomial functions, the cubic splines, and the cubic B-splines. A detailed comparison of the eigenvalues, the eigenmodes and their derivatives, and the static deformations and their derivatives is performed on a slewing beam in the vertical plane. Load para- meters are changed from their nominal values to test the sensitivity of the shape functions. The comparisons show that the clamped-free eigenfunctions are mostly in- adequate while the clamped-payload eigenfunctions are good candidates even when the payload parameters are changed. Overall, the cubic spline shape functions us- ing curvatures as generalized coordinates offer the best compromise between good precision and low calculation complexity.

In this thesis, we apply the concept of passivity to control the position of the system with one flexible link using the input torque at the base. Since the choice of the tip position as an output leads to a non passive system, we select a new output, namely, the noncollocated output measurement consisting of the angle of rotation at the hub augmented with a weighted value of the angle of rotation of the link's extrem- ity. A technique for determining the closest output to the tip resulting in a passive system is given. We analyse the passivity of the input-output relation for the system in the horizontal plane with and without damping. We also analyse system's passivity in the vertical plane. In the horizontal case, analytical methods based on reactivity and (real) positivity of the transfer function are used to select the output. In the vertical one, we also apply the concept of passivity to prove asymptotic convergence of the dynamics of the error between the selected output and the reference.